LORENE
FFTW3/circhebpimi.C
1 /*
2  * Copyright (c) 1999-2001 Eric Gourgoulhon
3  *
4  * This file is part of LORENE.
5  *
6  * LORENE is free software; you can redistribute it and/or modify
7  * it under the terms of the GNU General Public License as published by
8  * the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
9  * (at your option) any later version.
10  *
11  * LORENE is distributed in the hope that it will be useful,
12  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
13  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
14  * GNU General Public License for more details.
15  *
16  * You should have received a copy of the GNU General Public License
17  * along with LORENE; if not, write to the Free Software
18  * Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
19  *
20  */
21 
22 
23 char circhebpimi_C[] = "$Header: /cvsroot/Lorene/C++/Source/Non_class_members/Coef/FFTW3/circhebpimi.C,v 1.4 2014/10/13 08:53:20 j_novak Exp $" ;
24 
25 /*
26  * Transformation de Tchebyshev inverse T_{2k+1}/T_{2k} (suivant la parite de
27  * l'indice m en phi) sur le troisieme indice
28  * (indice correspondant a r) d'un tableau 3-D decrivant par exemple
29  * d/dr d'une fonction symetrique
30  * par rapport au plan equatorial z = 0 et sans aucune autre symetrie,
31  * cad que l'on a effectue
32  * 1/ un developpement en polynomes de Tchebyshev impairs pour m pair
33  * 2/ un developpement en polynomes de Tchebyshev pairs pour m impair
34  *
35  *
36  * Utilise la bibliotheque fftw.
37  *
38  * Entree:
39  * -------
40  * int* deg : tableau du nombre effectif de degres de liberte dans chacune
41  * des 3 dimensions: le nombre de points de collocation
42  * en r est nr = deg[2] et doit etre de la forme
43  * nr = 2*p + 1
44  * int* dimc : tableau du nombre d'elements de cf dans chacune des trois
45  * dimensions.
46  * On doit avoir dimc[2] >= deg[2] = nr.
47  *
48  * double* cf : tableau des coefficients c_i de la fonction definis
49  * comme suit (a theta et phi fixes)
50  *
51  * -- pour m pair (i.e. j = 0, 1, 4, 5, 8, 9, ...) :
52  *
53  * f(x) = som_{i=0}^{nr-2} c_i T_{2i+1}(x)
54  *
55  * ou T_{2i+1}(x) designe le polynome de Tchebyshev de
56  * degre 2i+1.
57  *
58  * -- pour m impair (i.e. j = 2, 3, 6, 7, 10, 11, ...) :
59  *
60  * f(x) = som_{i=0}^{nr-1} c_i T_{2i}(x) ,
61  *
62  * ou T_{2i}(x) designe le polynome de Tchebyshev de
63  * degre 2i.
64  *
65  * Les coefficients c_i (0 <= i <= nr-1) doivent etre stokes
66  * dans le tableau cf comme suit
67  * c_i = cf[ dimc[1]*dimc[2] * j + dimc[2] * k + i ]
68  * ou j et k sont les indices correspondant a phi et theta
69  * respectivement.
70  * L'espace memoire correspondant a ce pointeur doit etre
71  * dimc[0]*dimc[1]*dimc[2] et doit etre alloue avant l'appel a
72  * la routine.
73  *
74  * int* dimf : tableau du nombre d'elements de ff dans chacune des trois
75  * dimensions.
76  * On doit avoir dimf[2] >= deg[2] = nr.
77  *
78  * Sortie:
79  * -------
80  * double* ff : tableau des valeurs de la fonction aux nr points de
81  * de collocation
82  *
83  * x_i = sin( pi/2 i/(nr-1) ) 0 <= i <= nr-1
84  *
85  * Les valeurs de la fonction sont stokees dans le
86  * tableau ff comme suit
87  * f( x_i ) = ff[ dimf[1]*dimf[2] * j + dimf[2] * k + i ]
88  * ou j et k sont les indices correspondant a phi et theta
89  * respectivement.
90  * L'espace memoire correspondant a ce pointeur doit etre
91  * dimf[0]*dimf[1]*dimf[2] et doit avoir ete alloue avant
92  * l'appel a la routine.
93  *
94  * NB: Si le pointeur cf est egal a ff, la routine ne travaille que sur un
95  * seul tableau, qui constitue une entree/sortie.
96  */
97 
98 /*
99  * $Id: circhebpimi.C,v 1.4 2014/10/13 08:53:20 j_novak Exp $
100  * $Log: circhebpimi.C,v $
101  * Revision 1.4 2014/10/13 08:53:20 j_novak
102  * Lorene classes and functions now belong to the namespace Lorene.
103  *
104  * Revision 1.3 2014/10/06 15:18:49 j_novak
105  * Modified #include directives to use c++ syntax.
106  *
107  * Revision 1.2 2004/12/27 14:27:28 j_novak
108  * Added forgotten "delete [] t1"
109  *
110  * Revision 1.1 2004/12/21 17:06:02 j_novak
111  * Added all files for using fftw3.
112  *
113  * Revision 1.4 2003/01/31 10:31:23 e_gourgoulhon
114  * Suppressed the directive #include <malloc.h> for malloc is defined
115  * in <stdlib.h>
116  *
117  * Revision 1.3 2002/10/16 14:36:53 j_novak
118  * Reorganization of #include instructions of standard C++, in order to
119  * use experimental version 3 of gcc.
120  *
121  * Revision 1.2 2002/09/09 13:00:40 e_gourgoulhon
122  * Modification of declaration of Fortran 77 prototypes for
123  * a better portability (in particular on IBM AIX systems):
124  * All Fortran subroutine names are now written F77_* and are
125  * defined in the new file C++/Include/proto_f77.h.
126  *
127  * Revision 1.1.1.1 2001/11/20 15:19:28 e_gourgoulhon
128  * LORENE
129  *
130  * Revision 2.0 1999/02/22 15:43:19 hyc
131  * *** empty log message ***
132  *
133  *
134  * $Header: /cvsroot/Lorene/C++/Source/Non_class_members/Coef/FFTW3/circhebpimi.C,v 1.4 2014/10/13 08:53:20 j_novak Exp $
135  *
136  */
137 
138 
139 
140 // headers du C
141 #include <cassert>
142 #include <cstdlib>
143 #include <fftw3.h>
144 
145 //Lorene prototypes
146 #include "tbl.h"
147 
148 // Prototypage des sous-routines utilisees:
149 namespace Lorene {
150 fftw_plan back_fft(int, Tbl*&) ;
151 double* cheb_ini(const int) ;
152 double* chebimp_ini(const int ) ;
153 //*****************************************************************************
154 
155 void circhebpimi(const int* deg, const int* dimc, double* cf,
156  const int* dimf, double* ff)
157 
158 {
159 int i, j, k ;
160 
161 // Dimensions des tableaux ff et cf :
162  int n1f = dimf[0] ;
163  int n2f = dimf[1] ;
164  int n3f = dimf[2] ;
165  int n1c = dimc[0] ;
166  int n2c = dimc[1] ;
167  int n3c = dimc[2] ;
168 
169 // Nombres de degres de liberte en r :
170  int nr = deg[2] ;
171 
172 // Tests de dimension:
173  if (nr > n3c) {
174  cout << "circhebpimi: nr > n3c : nr = " << nr << " , n3c = "
175  << n3c << endl ;
176  abort () ;
177  exit(-1) ;
178  }
179  if (nr > n3f) {
180  cout << "circhebpimi: nr > n3f : nr = " << nr << " , n3f = "
181  << n3f << endl ;
182  abort () ;
183  exit(-1) ;
184  }
185  if (n1c > n1f) {
186  cout << "circhebpimi: n1c > n1f : n1c = " << n1c << " , n1f = "
187  << n1f << endl ;
188  abort () ;
189  exit(-1) ;
190  }
191  if (n2c > n2f) {
192  cout << "circhebpimi: n2c > n2f : n2c = " << n2c << " , n2f = "
193  << n2f << endl ;
194  abort () ;
195  exit(-1) ;
196  }
197 
198 // Nombre de points pour la FFT:
199  int nm1 = nr - 1;
200  int nm1s2 = nm1 / 2;
201 
202 // Recherche des tables pour la FFT:
203  Tbl* pg = 0x0 ;
204  fftw_plan p = back_fft(nm1, pg) ;
205  Tbl& g = *pg ;
206  double* t1 = new double[nr] ;
207 
208 // Recherche de la table des sin(psi) :
209  double* sinp = cheb_ini(nr);
210 
211 // Recherche de la table des points de collocations x_k :
212  double* x = chebimp_ini(nr);
213 
214 // boucle sur phi et theta
215 
216  int n2n3f = n2f * n3f ;
217  int n2n3c = n2c * n3c ;
218 
219 //=======================================================================
220 // Cas m pair
221 //=======================================================================
222 
223  j = 0 ;
224 
225  while (j<n1f-1) { //le dernier coef en phi n'est pas considere
226  // (car nul)
227 
228 
229 //------------------------------------------------------------------------
230 // partie cos(m phi) avec m pair : developpement en T_{2i+1}(x)
231 //------------------------------------------------------------------------
232 
233  for (k=0; k<n2c; k++) {
234 
235  int i0 = n2n3c * j + n3c * k ; // indice de depart
236  double* cf0 = cf + i0 ; // tableau des donnees a transformer
237 
238  i0 = n2n3f * j + n3f * k ; // indice de depart
239  double* ff0 = ff + i0 ; // tableau resultat
240 
241 // Calcul des coefficients du developpement en T_{2i}(x) de la fonction
242 // h(x) := x f(x) a partir des coefficients de f (resultat stoke dans le
243 // tableau t1 :
244  t1[0] = .5 * cf0[0] ;
245  for (i=1; i<nm1; i++) t1[i] = .5 * ( cf0[i] + cf0[i-1] ) ;
246  t1[nm1] = .5 * cf0[nr-2] ;
247 
248 /*
249  * NB: dans les commentaires qui suivent, psi designe la variable de [0, pi]
250  * reliee a x par x = cos(psi/2) et F(psi) = h(x(psi)).
251  */
252 
253 // Calcul des coefficients de Fourier de la fonction
254 // G(psi) = F+(psi) + F_(psi) sin(psi)
255 // en fonction des coefficients de Tchebyshev de f:
256 
257 // Coefficients impairs de G
258 //--------------------------
259 
260  double c1 = t1[1] ;
261 
262  double som = 0;
263  ff0[1] = 0 ;
264  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
265  ff0[i] = t1[i] - c1 ;
266  som += ff0[i] ;
267  }
268 
269 // Valeur en psi=0 de la partie antisymetrique de F, F_ :
270  double fmoins0 = nm1s2 * c1 + som ;
271 
272 // Coef. impairs de G
273 // NB: le facteur 0.25 est du a la normalisation de fftw; si fftw
274 // donnait exactement les coef. des sinus, ce facteur serait -0.5.
275  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
276  g.set(nm1-i/2) = 0.25 * ( ff0[i] - ff0[i-2] ) ;
277  }
278 
279 
280 // Coefficients pairs de G
281 //------------------------
282 // Ces coefficients sont egaux aux coefficients pairs du developpement de
283 // f.
284 // NB: le facteur 0.5 est du a la normalisation de fftw; si fftw
285 // donnait exactement les coef. des cosinus, ce facteur serait 1.
286 
287  g.set(0) = t1[0] ;
288  for (i=1; i<nm1s2; i++ ) g.set(i) = 0.5 * t1[2*i] ;
289  g.set(nm1s2) = t1[nm1] ;
290 
291 // Transformation de Fourier inverse de G
292 //---------------------------------------
293 
294 // FFT inverse
295  fftw_execute(p) ;
296 
297 // Valeurs de f deduites de celles de G
298 //-------------------------------------
299 
300  for ( i = 1; i < nm1s2 ; i++ ) {
301 // ... indice (dans le tableau g) du pt symetrique de psi par rapport a pi/2:
302  int isym = nm1 - i ;
303 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a psi
304  int ix = nm1 - i ;
305 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a sym(psi)
306  int ixsym = nm1 - isym ;
307 
308  double fp = .5 * ( g(i) + g(isym) ) ;
309  double fm = .5 * ( g(i) - g(isym) ) / sinp[i] ;
310 
311  ff0[ix] = ( fp + fm ) / x[ix];
312  ff0[ixsym] = ( fp - fm ) / x[ixsym] ;
313  }
314 
315 //... cas particuliers:
316  ff0[0] = 0 ;
317  ff0[nm1] = g(0) + fmoins0 ;
318  ff0[nm1s2] = g(nm1s2) / x[nm1s2] ;
319 
320  } // fin de la boucle sur theta
321 
322 //------------------------------------------------------------------------
323 // partie sin(m phi) avec m pair : developpement en T_{2i+1}(x)
324 //------------------------------------------------------------------------
325 
326  j++ ;
327 
328  if ( (j != 1) && (j != n1f-1) ) {
329 // on effectue le calcul seulement dans les cas ou les coef en phi ne sont
330 // pas nuls
331 
332  for (k=0; k<n2c; k++) {
333 
334  int i0 = n2n3c * j + n3c * k ; // indice de depart
335  double* cf0 = cf + i0 ; // tableau des donnees a transformer
336 
337  i0 = n2n3f * j + n3f * k ; // indice de depart
338  double* ff0 = ff + i0 ; // tableau resultat
339 
340 // Calcul des coefficients du developpement en T_{2i}(x) de la fonction
341 // h(x) := x f(x) a partir des coefficients de f (resultat stoke dans le
342 // tableau t1 :
343  t1[0] = .5 * cf0[0] ;
344  for (i=1; i<nm1; i++) t1[i] = .5 * ( cf0[i] + cf0[i-1] ) ;
345  t1[nm1] = .5 * cf0[nr-2] ;
346 
347 /*
348  * NB: dans les commentaires qui suivent, psi designe la variable de [0, pi]
349  * reliee a x par x = cos(psi/2) et F(psi) = h(x(psi)).
350  */
351 
352 // Calcul des coefficients de Fourier de la fonction
353 // G(psi) = F+(psi) + F_(psi) sin(psi)
354 // en fonction des coefficients de Tchebyshev de f:
355 
356 // Coefficients impairs de G
357 //--------------------------
358 
359  double c1 = t1[1] ;
360 
361  double som = 0;
362  ff0[1] = 0 ;
363  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
364  ff0[i] = t1[i] - c1 ;
365  som += ff0[i] ;
366  }
367 
368 // Valeur en psi=0 de la partie antisymetrique de F, F_ :
369  double fmoins0 = nm1s2 * c1 + som ;
370 
371 // Coef. impairs de G
372 // NB: le facteur 0.25 est du a la normalisation de fftw; si fftw
373 // donnait exactement les coef. des sinus, ce facteur serait -0.5.
374  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
375  g.set(nm1-i/2) = 0.25 * ( ff0[i] - ff0[i-2] ) ;
376  }
377 
378 
379 // Coefficients pairs de G
380 //------------------------
381 // Ces coefficients sont egaux aux coefficients pairs du developpement de
382 // f.
383 // NB: le facteur 0.5 est du a la normalisation de fftw; si fftw
384 // donnait exactement les coef. des cosinus, ce facteur serait 1.
385 
386  g.set(0) = t1[0] ;
387  for (i=1; i<nm1s2; i++ ) g.set(i) = 0.5 * t1[2*i] ;
388  g.set(nm1s2) = t1[nm1] ;
389 
390 // Transformation de Fourier inverse de G
391 //---------------------------------------
392 
393 // FFT inverse
394  fftw_execute(p) ;
395 
396 // Valeurs de f deduites de celles de G
397 //-------------------------------------
398 
399  for ( i = 1; i < nm1s2 ; i++ ) {
400 // ... indice (dans le tableau g) du pt symetrique de psi par rapport a pi/2:
401  int isym = nm1 - i ;
402 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a psi
403  int ix = nm1 - i ;
404 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a sym(psi)
405  int ixsym = nm1 - isym ;
406 
407  double fp = .5 * ( g(i) + g(isym) ) ;
408  double fm = .5 * ( g(i) - g(isym) ) / sinp[i] ;
409 
410  ff0[ix] = ( fp + fm ) / x[ix];
411  ff0[ixsym] = ( fp - fm ) / x[ixsym] ;
412  }
413 
414 //... cas particuliers:
415  ff0[0] = 0 ;
416  ff0[nm1] = g(0) + fmoins0 ;
417  ff0[nm1s2] = g(nm1s2) / x[nm1s2] ;
418 
419  } // fin de la boucle sur theta
420 
421  } // fin du cas ou le calcul etait necessaire (i.e. ou les
422  // coef en phi n'etaient pas nuls)
423 
424 // On passe au cas m pair suivant:
425  j+=3 ;
426 
427  } // fin de la boucle sur les cas m pair
428 
429  if (n1f<=3) { // cas m=0 seulement (symetrie axiale)
430  delete [] t1 ;
431  return ;
432  }
433 
434 //=======================================================================
435 // Cas m impair
436 //=======================================================================
437 
438  j = 2 ;
439 
440  while (j<n1f-1) {
441 
442 //--------------------------------------------------------------------
443 // partie cos(m phi) avec m impair : developpement en T_{2i}(x)
444 //--------------------------------------------------------------------
445 
446  for (k=0; k<n2c; k++) {
447 
448  int i0 = n2n3c * j + n3c * k ; // indice de depart
449  double* cf0 = cf + i0 ; // tableau des donnees a transformer
450 
451  i0 = n2n3f * j + n3f * k ; // indice de depart
452  double* ff0 = ff + i0 ; // tableau resultat
453 
454 /*
455  * NB: dans les commentaires qui suivent, psi designe la variable de [0, pi]
456  * reliee a x par x = cos(psi/2) et F(psi) = f(x(psi)).
457  */
458 
459 // Calcul des coefficients de Fourier de la fonction
460 // G(psi) = F+(psi) + F_(psi) sin(psi)
461 // en fonction des coefficients de Tchebyshev de f:
462 
463 // Coefficients impairs de G
464 //--------------------------
465 
466  double c1 = cf0[1] ;
467 
468  double som = 0;
469  ff0[1] = 0 ;
470  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
471  ff0[i] = cf0[i] - c1 ;
472  som += ff0[i] ;
473  }
474 
475 // Valeur en psi=0 de la partie antisymetrique de F, F_ :
476  double fmoins0 = nm1s2 * c1 + som ;
477 
478 // Coef. impairs de G
479 // NB: le facteur 0.25 est du a la normalisation de fftw; si fftw
480 // donnait exactement les coef. des sinus, ce facteur serait -0.5.
481  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
482  g.set(nm1-i/2) = 0.25 * ( ff0[i] - ff0[i-2] ) ;
483  }
484 
485 
486 // Coefficients pairs de G
487 //------------------------
488 // Ces coefficients sont egaux aux coefficients pairs du developpement de
489 // f.
490 // NB: le facteur 0.5 est du a la normalisation de fftw; si fftw
491 // donnait exactement les coef. des cosinus, ce facteur serait 1.
492 
493  g.set(0) = cf0[0] ;
494  for (i=1; i<nm1s2; i++) g.set(i) = 0.5 * cf0[2*i] ;
495  g.set(nm1s2) = cf0[nm1] ;
496 
497 // Transformation de Fourier inverse de G
498 //---------------------------------------
499 
500 // FFT inverse
501  fftw_execute(p) ;
502 
503 // Valeurs de f deduites de celles de G
504 //-------------------------------------
505 
506  for ( i = 1; i < nm1s2 ; i++ ) {
507 // ... indice (dans le tableau g) du pt symetrique de psi par rapport a pi/2:
508  int isym = nm1 - i ;
509 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a psi
510  int ix = nm1 - i ;
511 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a sym(psi)
512  int ixsym = nm1 - isym ;
513 
514  double fp = .5 * ( g(i) + g(isym) ) ;
515  double fm = .5 * ( g(i) - g(isym) ) / sinp[i] ;
516 
517  ff0[ix] = fp + fm ;
518  ff0[ixsym] = fp - fm ;
519  }
520 
521 //... cas particuliers:
522  ff0[0] = g(0) - fmoins0 ;
523  ff0[nm1] = g(0) + fmoins0 ;
524  ff0[nm1s2] = g(nm1s2) ;
525 
526  } // fin de la boucle sur theta
527 
528 
529 //--------------------------------------------------------------------
530 // partie sin(m phi) avec m impair : developpement en T_{2i}(x)
531 //--------------------------------------------------------------------
532 
533  j++ ;
534 
535  if ( j != n1f-1 ) {
536 // on effectue le calcul seulement dans les cas ou les coef en phi ne sont
537 // pas nuls
538 
539  for (k=0; k<n2c; k++) {
540 
541  int i0 = n2n3c * j + n3c * k ; // indice de depart
542  double* cf0 = cf + i0 ; // tableau des donnees a transformer
543 
544  i0 = n2n3f * j + n3f * k ; // indice de depart
545  double* ff0 = ff + i0 ; // tableau resultat
546 
547 /*
548  * NB: dans les commentaires qui suivent, psi designe la variable de [0, pi]
549  * reliee a x par x = cos(psi/2) et F(psi) = f(x(psi)).
550  */
551 
552 // Calcul des coefficients de Fourier de la fonction
553 // G(psi) = F+(psi) + F_(psi) sin(psi)
554 // en fonction des coefficients de Tchebyshev de f:
555 
556 // Coefficients impairs de G
557 //--------------------------
558 
559  double c1 = cf0[1] ;
560 
561  double som = 0;
562  ff0[1] = 0 ;
563  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
564  ff0[i] = cf0[i] - c1 ;
565  som += ff0[i] ;
566  }
567 
568 // Valeur en psi=0 de la partie antisymetrique de F, F_ :
569  double fmoins0 = nm1s2 * c1 + som ;
570 
571 // Coef. impairs de G
572 // NB: le facteur 0.25 est du a la normalisation de fftw; si fftw
573 // donnait exactement les coef. des sinus, ce facteur serait -0.5.
574  for ( i = 3; i < nr; i += 2 ) {
575  g.set(nm1-i/2) = 0.25 * ( ff0[i] - ff0[i-2] ) ;
576  }
577 
578 
579 // Coefficients pairs de G
580 //------------------------
581 // Ces coefficients sont egaux aux coefficients pairs du developpement de
582 // f.
583 // NB: le facteur 0.5 est du a la normalisation de fftw; si fftw
584 // donnait exactement les coef. des cosinus, ce facteur serait 1.
585 
586  g.set(0) = cf0[0] ;
587  for (i=1; i<nm1s2; i++) g.set(i) = 0.5 * cf0[2*i] ;
588  g.set(nm1s2) = cf0[nm1] ;
589 
590 // Transformation de Fourier inverse de G
591 //---------------------------------------
592 
593 // FFT inverse
594  fftw_execute(p) ;
595 
596 // Valeurs de f deduites de celles de G
597 //-------------------------------------
598 
599  for ( i = 1; i < nm1s2 ; i++ ) {
600 // ... indice (dans le tableau g) du pt symetrique de psi par rapport a pi/2:
601  int isym = nm1 - i ;
602 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a psi
603  int ix = nm1 - i ;
604 // ... indice (dans le tableau ff0) du point x correspondant a sym(psi)
605  int ixsym = nm1 - isym ;
606 
607  double fp = .5 * ( g(i) + g(isym) ) ;
608  double fm = .5 * ( g(i) - g(isym) ) / sinp[i] ;
609 
610  ff0[ix] = fp + fm ;
611  ff0[ixsym] = fp - fm ;
612  }
613 
614 //... cas particuliers:
615  ff0[0] = g(0) - fmoins0 ;
616  ff0[nm1] = g(0) + fmoins0 ;
617  ff0[nm1s2] = g(nm1s2) ;
618 
619  } // fin de la boucle sur theta
620 
621  } // fin du cas ou le calcul etait necessaire (i.e. ou les
622  // coef en phi n'etaient pas nuls)
623 
624 // On passe au cas m impair suivant:
625  j+=3 ;
626 
627  } // fin de la boucle sur les cas m impair
628 
629  delete [] t1 ;
630 }
631 
632 }
Lorene prototypes.
Definition: app_hor.h:64